Question

【題目】已知橢圓的左、右焦點(diǎn)分別為，且橢圓的離心率為，過(guò)作軸的垂線(xiàn)與橢圓交于兩點(diǎn)，且，動(dòng)點(diǎn)在橢圓上．

（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）記橢圓的左、右頂點(diǎn)分別為，且直線(xiàn)的斜率分別與直線(xiàn)（為坐標(biāo)原點(diǎn)）的斜率相同，動(dòng)點(diǎn)不與重合，求的面積．

Answer 1

【答案】（1）；（2）．

【解析】

（1）根據(jù)離心率以及通徑的長(zhǎng)度，建立的方程組，求解方程組即可得到結(jié)果；

（2）根據(jù)點(diǎn)在橢圓上，可推導(dǎo)出為定值；分類(lèi)討論直線(xiàn)的斜率，當(dāng)斜率存在時(shí)，設(shè)出直線(xiàn)的方程，聯(lián)立橢圓方程，由，得到之間的關(guān)系；再求弦長(zhǎng)以及原點(diǎn)到直線(xiàn)的距離，結(jié)合之間的關(guān)系，即可容易得到結(jié)果.

（1）聯(lián)立方程得解得，

故，即，

又，，

所以，

故橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為.

（2）由（1）知，，設(shè)，

則，

又，即，

所以，所以.

當(dāng)直線(xiàn)的斜率不存在時(shí)，

直線(xiàn)的斜率分別為或，

不妨設(shè)直線(xiàn)的方程是，

由得，．

取，則，

所以的面積為.

當(dāng)直線(xiàn)的斜率存在時(shí)，設(shè)方程為．

由得．

因?yàn)?/span>在橢圓上，所以，

解得．

設(shè)，，則，.

所以

．

設(shè)點(diǎn)到直線(xiàn)的距離為，則．

所以的面積為①

因?yàn)?/span>，

所以

由，得， ②

由①②，得．

綜上所述，的面積為．