Question

【題目】已知數(shù)列,為其前n項(xiàng)的和，滿足.

(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；

(2)設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，數(shù)列的前n項(xiàng)和為，求證:當(dāng)時(shí)；

(3)若函數(shù)的定義域?yàn)?/span>R，并且，求證.

Answer 1

【答案】(1)；(2)見解析；(3)見解析.

【解析】

(1)當(dāng)時(shí)，,當(dāng).

(2)求出數(shù)列的通項(xiàng)公式可后求前n項(xiàng)和及，整理得，也可用數(shù)學(xué)歸納法證明該等式.

(3)結(jié)合函數(shù)的定義域及已知極限可得，再就的符號(hào)分類討論可證.

解:(1)當(dāng)時(shí)，，

當(dāng)時(shí),，

∴.

(2)法一：∵，∴，

∴

.

法二：數(shù)學(xué)歸納法.

①時(shí)，,，等式成立.

②假設(shè)時(shí)有，

當(dāng)時(shí)，，

又

.

故即，

∴是原式也成立，

由①②可知當(dāng)時(shí).

(3) ∵函數(shù)的定義域?yàn)?/span>，所以恒不為零，

而的值域?yàn)?/span>，∴.

又時(shí)，，與矛盾，故.

易知，否則若，則，與矛盾，

若，則，與矛盾，

∴，∴即有.