Question

【題目】已知，且，且，函數(shù).

（1）設，，若是奇函數(shù)，求的值；

（2）設，，判斷函數(shù)在上的單調(diào)性并加以證明；

（3）設，，，函數(shù)的圖象是否關于某垂直于軸的直線對稱？如果是，求出該對稱軸，如果不是，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）證明見解析；（3）對稱軸為，理由見解析.

【解析】

（1）根據(jù)已知條件，將代入函數(shù)的解析式，得出，利用奇函數(shù)的定義，可求出實數(shù)的值；

（2）判斷出函數(shù)和函數(shù)的單調(diào)性，然后利用函數(shù)單調(diào)性的運算法則，可判斷出函數(shù)的單調(diào)性，然后利用函數(shù)單調(diào)性的定義加以證明；

（3）根據(jù)函數(shù)圖象的對稱軸為直線，得出對任意的實數(shù)恒成立，即可求出實數(shù)的值.

（1）由已知，，，由于函數(shù)為奇函數(shù)，

則對任意的恒成立，，因此，；

（2）當時，函數(shù)為增函數(shù)，函數(shù)為減函數(shù)，

又，所以，函數(shù)在上是增函數(shù)，

下面利用定義來證明出函數(shù)的單調(diào)性.

任取，則，

，，即，又，，

，，所以，，即.

因此，函數(shù)在上是增函數(shù)；

（3），若函數(shù)的圖象是軸對稱圖形，且對稱軸為直線，

則，，

即，即，

即對任意的恒成立，，即，

因此，.