Question

【題目】已知橢圓C：1（a＞b＞0），F1，F2為橢圓的左右焦點(diǎn)，過(guò)F2的直線(xiàn)交橢圓與A、B兩點(diǎn)，∠AF1B＝90°，2，則橢圓的離心率為（ ）

A.B.C.D.

Answer 1

【答案】B

【解析】

由向量的關(guān)系可得線(xiàn)段的關(guān)系，設(shè)|F2A|＝3x，則|F2B|＝2x，由橢圓的定義可得|F1A|＝2a﹣3x，|F1B|＝2a﹣2x，再由∠AF1B＝90°，由勾股定理可得x的值，進(jìn)而求出|AF1|，|AB|的值，進(jìn)而求出∠F1AB的余弦值，由半角公式求出sin，進(jìn)而求出離心率.

如圖所示：

因?yàn)?/span>2，

設(shè)|F2A|＝3x，|F2B|＝2x，|

所以F1A|＝2a﹣3x，|F1B|＝2a﹣2x，

因?yàn)椤?/span>AF1B＝90°，

所以（5x）2＝（2a﹣3x）2+（2a﹣2x）2，

解得，

則|F2A|＝a，|AB|，|F1B|a，|F1A|＝a，

所以可得A為短軸的頂點(diǎn)，

在△ABF1中，cos∠F1AB，

所以sin，

則.

故選：B.