Question

【題目】已知函數(shù)f（x）的導(dǎo)數(shù)滿足f（x）+x＞對x∈R恒成立，且實(shí)數(shù)x，y滿足xf（x）﹣yf（y）＞f（y）﹣f（x），則下列關(guān)系式恒成立的是( )

A.B.ln（x2+1）＞ln（y2+1）

C.D.x﹣y＞sinx﹣siny

Answer 1

【答案】D

【解析】

由題得f（x）+（x+1）＞0，令g（x）=（x+1）f（x），得到函數(shù)的單調(diào)性，由

xf（x）﹣yf（y）＞f（y）﹣f（x）得到x＞y.再逐一分析判斷每一個選項(xiàng)的正誤得解.

因?yàn)?/span>f（x）+x＞，

所以f（x）+（x+1）＞0，

令g（x）=（x+1）f（x），

則=f（x）+（x+1）＞0對x∈R恒成立，

∴g（x）在x∈R時(shí)單調(diào)遞增.

又由題得實(shí)數(shù)x，y滿足（x+1）f（x）﹣（y+1）f（y）＞0，

所以g（x）＞g（y），

∴x＞y，

取x=1，y=，則有成立，故A選項(xiàng)錯誤；

又當(dāng)x=1，y=時(shí)，有ln（1+x2）=ln（1+y2），故B選項(xiàng)錯誤；

令h（x），則h′（x），

當(dāng)x＜1時(shí)，＞0，此時(shí)h（x）單調(diào)遞增，當(dāng)x＞1時(shí)，＜0，此時(shí)h（x）單調(diào)遞減，當(dāng)y＜x＜1時(shí)，有h（x）＞h（y）成立，即有成立，故C選項(xiàng)錯誤；

令t（x）=xsinx，則=1cosx≥0，此時(shí)t（x）單調(diào)遞增，

又∵x＞y，∴t（x）＞t（y），

∴x﹣sinx＞y﹣siny，即x﹣y＞sinx﹣siny，故D選項(xiàng)正確.

故選：D