Question

【題目】已知函數(shù).

（1）討論當時，函數(shù)的單調(diào)性；

（2）當對任意的恒成立，其中.求的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）在為增函數(shù)（2）

【解析】

（1）將代入函數(shù)解析式，可求得函數(shù)解析式及，由的單調(diào)性及導函數(shù)與函數(shù)單調(diào)性關(guān)系即可判斷.

（2）由題意可知對任意的恒成立，求得，并構(gòu)造函數(shù)，求得，可判斷在上的單調(diào)性，從而可得存在，使得，進而可得，由可得方程，代入中，可由求得的取值范圍.

（1）函數(shù)，

將代入，可得，則，.

當為單調(diào)遞增函數(shù)，，

所以在為增函數(shù)；

（2）由已知有，其中，.

.

令，其中，.

由得在上單調(diào)遞增.

又，當時，，

故存在，使得.

當時，，，在上單調(diào)遞減；

當時，，，在上單調(diào)遞增.

故.

由得，，即.

則.

令，由，，解得.

因為在上單調(diào)遞增，，所以.

故，即，解得.