Question

【題目】一種計算裝置，有一數(shù)據(jù)入口A和一個運算出口B，按照某種運算程序：①當(dāng)從A口輸入自然數(shù)1時，從B口得到 ，記為 ；②當(dāng)從A口輸入自然數(shù)n（n≥2）時，在B口得到的結(jié)果f（n）是前一個結(jié)果f（n﹣1）的 倍． （Ⅰ）當(dāng)從A口分別輸入自然數(shù)2，3，4時，從B口分別得到什么數(shù)？
（Ⅱ）根據(jù)（Ⅰ）試猜想f（n）的關(guān)系式，并用數(shù)學(xué)歸納法證明你的結(jié)論．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）由已知得f（n）= f（n﹣1），（n≥2，n∈N*） 當(dāng)n=2時， ，
同理可得
（Ⅱ）猜想
下面用數(shù)學(xué)歸納法證明（*）成立
② 當(dāng)n=1，2，3，4時，由上面的計算結(jié)果知（*）成立
②假設(shè)n=k（k≥4，k∈N*）時，（*）成立，即 ，
那么當(dāng)n=k+1時，
即 ∴當(dāng)n=k+1時，（*）也成立
綜合①②所述，對n∈N* ， 成立
【解析】（Ⅰ）由f（n）= f（n﹣1），（n≥2，n∈N*）， 可求得f（2），f（3），f（4）的值，（Ⅱ）從而可猜想f（n）關(guān)系式．按照數(shù)學(xué)歸納法的證題步驟：先證明n=1時命題成立，再假設(shè)當(dāng)n=k時結(jié)論成立，去證明當(dāng)n=k+1時，結(jié)論也成立，從而得出命題對任意的n≥2恒成立．
【考點精析】本題主要考查了數(shù)列的通項公式和數(shù)學(xué)歸納法的定義的相關(guān)知識點，需要掌握如果數(shù)列an的第n項與n之間的關(guān)系可以用一個公式表示，那么這個公式就叫這個數(shù)列的通項公式；數(shù)學(xué)歸納法是證明關(guān)于正整數(shù)n的命題的一種方法才能正確解答此題．