Question

【題目】已知數(shù)列滿足：，，且、、成等差數(shù)列，其中.

（1）求實(shí)數(shù)的值和數(shù)列的通項(xiàng)公式；

（2）若數(shù)列滿足等式：（），求數(shù)列的前項(xiàng)和；

（3）在（2）的條件下，問：是否存在這樣的正數(shù)，可以確保恰有5個(gè)自然數(shù)使得不等式成立？若存在，求的取值范圍，若不存在，說明理由.

Answer 1

【答案】（1），；（2）；（3）存在，.

【解析】

由題意和等差中項(xiàng)的性質(zhì)列出關(guān)于的方程求出,再利用累加法求出數(shù)列的通項(xiàng)公式即可.

類比已知前項(xiàng)和求通項(xiàng)公式的方法，由等式，得到

，兩式相減得到,利用求出的通項(xiàng)公式,當(dāng)時(shí),，即可求出.

結(jié)合條件對(duì)進(jìn)行分類討論,當(dāng)時(shí),利用分離參數(shù)法化簡得,利用取特殊值和比商法判斷出的單調(diào)性,進(jìn)而判斷出的單調(diào)性,根據(jù)條件即可求出正數(shù)的取值范圍.

因?yàn)?/span>,,

所以，,

因?yàn)?/span>、、成等差數(shù)列，

所以,即,

解得,,

所以,

以上式子相加可得,,

因?yàn)?/span>,

所以,即.

因?yàn)?/span>,

所以，

可得，,

因?yàn)?/span> ,所以即，

當(dāng)時(shí),,

因?yàn)閿?shù)列的前項(xiàng)和為,

所以.

假設(shè)存在這樣的正數(shù).

因?yàn)?/span>,所以使不等式成立,

即使不等式成立即可.

因?yàn)?/span>,所以當(dāng)時(shí),上式顯然成立,

當(dāng)時(shí),不等式可化為,

當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),;

當(dāng)時(shí),；當(dāng)時(shí),;

令，則，

當(dāng)時(shí),,則,

所以當(dāng)時(shí),隨著的增大而增大,則隨著的增大而減小,

因?yàn)槭共坏仁?/span>成立的自然數(shù)恰有5個(gè)，

所以正數(shù)的取值范圍為.