Question

【題目】設(shè)是定義域為的函數(shù)，對任意，都滿足：，，且當(dāng)時，.

（1）請指出在區(qū)間上的奇偶性、單調(diào)區(qū)間、零點(diǎn)；

（2）試證明是周期函數(shù)，并求其在區(qū)間（）上的解析式；

（3）方程有三個不等根，求的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）偶函數(shù)，上遞減，上遞增，零點(diǎn)；（2）證明見解析，，；（3）（）.

【解析】

根據(jù)，可推出函數(shù)為偶函數(shù)，即可求出（2）由可推出周期為2，根據(jù)周期及奇偶性可求出函數(shù)在上的解析式（3）在一個周期內(nèi)研究即可，利用導(dǎo)數(shù)求出直線與相切時的截距，過點(diǎn)時直線的截距，即可求出方程有3個不等實根時的取值范圍.

因為，，

所以，

所以，函數(shù)為定義域R上的偶函數(shù)，

故在區(qū)間上是偶函數(shù)，在是遞減區(qū)間，是遞增區(qū)間，零點(diǎn)是0.

因為，

所以，

故函數(shù)是周期為2的周期函數(shù).

設(shè)，則，，

所以，

又函數(shù)是偶函數(shù)，且周期為2，

所以，

故，.

（3）當(dāng)時，，

在周期內(nèi)，當(dāng)直線過點(diǎn)時，即時，直線與函數(shù)有2個交點(diǎn)，方程有兩個不等的實根，向下平移直線時，與函數(shù)有3個交點(diǎn)，當(dāng)直線與（）相切時，有2個交點(diǎn)，

此時，由得：，

因為相切，所以，

解得，

故當(dāng)時，直線與的圖象有3個交點(diǎn)，即有3個不等的實根.