Question

(本小題滿分13分)
給定橢圓＞＞0，稱圓心在原點(diǎn)，半徑為的圓是橢圓的“準(zhǔn)圓”。若橢圓的一個焦點(diǎn)為，其短軸上的一個端點(diǎn)到的距離為。
（1）求橢圓的方程和其“準(zhǔn)圓”方程；
（2）點(diǎn)是橢圓的“準(zhǔn)圓”上的一個動點(diǎn)，過點(diǎn)作直線，使得與橢圓都只有一個交點(diǎn)。求證：⊥.

Answer 1

解：（1）因為，所以                        2分
所以橢圓的方程為，   準(zhǔn)圓的方程為.       4分
（2）①當(dāng)中有一條無斜率時，不妨設(shè)無斜率，
因為與橢圓只有一個公共點(diǎn)，則其方程為或，
當(dāng)方程為時，此時與準(zhǔn)圓交于點(diǎn)
此時經(jīng)過點(diǎn)（或且與橢圓只有一個公共點(diǎn)的直線是
(或，即為(或，顯然直線垂直；
同理可證方程為時，直線垂直.                 7分
②當(dāng)都有斜率時，設(shè)點(diǎn)其中，
設(shè)經(jīng)過點(diǎn)與橢圓只有一個公共點(diǎn)的直線為，
則，消去得到，
即，
，
經(jīng)過化簡得到：，               9分
因為，所以有，
設(shè)的斜率分別為，因為與橢圓都只有一個公共點(diǎn)，
所以滿足上述方程，
所以，即垂直.                                13分

略