Question

【題目】如圖，雙曲線的兩頂點(diǎn)為，，虛軸兩端點(diǎn)為，，兩焦點(diǎn)為，，若以為直徑的圓內(nèi)切于菱形，切點(diǎn)分別為，，，.則

（1）雙曲線的離心率______；

（2）菱形的面積與矩形的面積的比值______.

Answer 1

【答案】. .

【解析】

對于（1）由題意可得頂點(diǎn)和虛軸端點(diǎn)坐標(biāo)及交點(diǎn)坐標(biāo)，從而求得菱形的邊長，得到到直線的距離為，接下來根據(jù)雙曲線中的關(guān)系和離心率公式，即可得到所求值；對于（2），分別計(jì)算出菱形面積與矩形的面積，然后根據(jù)的關(guān)系求出它們的比值即可.

（1）直線的方程為，

所以到直線的距離為，

因?yàn)橐?/span>為直徑的圓內(nèi)切于菱形，

所以，

所以，

所以，即，

因?yàn)?/span>，解得，，

故答案為：.

（2）菱形的面積，

設(shè)矩形，，所以，

因?yàn)?/span>，所以，

所以矩形的面積，

所以，

由（1）知，所以，

故答案為：.