Question

【題目】已知函數(shù)的極小值為.

（1）求的單調(diào)區(qū)間；

（2）證明：（其中為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)）.

Answer 1

【答案】（1）單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為（2）詳見(jiàn)解析

【解析】

（1）先由函數(shù)的極小值為，求出，利用導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，求函數(shù)單調(diào)區(qū)間即可；

（2）不等式恒成立問(wèn)題，通常采用最值法，方法一,令，可以證明，方法二,要證，即證，再構(gòu)造函數(shù)證明即可得解.

（1）由題得的定義域?yàn)?/span>，

，

令，解得，

當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；

當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增.

所以的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為.

（2）方法一：要證，即證，

令，則，

當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增；

當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減.

所以.

由題知.

因?yàn)?/span>，

所以，即.

方法二：由（1）知.

解得，要證，即證.

當(dāng)時(shí)，易知.

令，則.

當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；

當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增.

所以，即.

令，則，

所以在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，

所以，即，

所以，

則當(dāng)時(shí)，

，

所以.

綜上，.