Question

【題目】若對于定義在上的函數(shù)，其圖象是連續(xù)不斷的，且存在常數(shù)使得對任意實數(shù)都成立，則稱是一個“特征函數(shù)”．下列結(jié)論中正確的個數(shù)為（　　）

①是常數(shù)函數(shù)中唯一的“特征函數(shù)”；

②不是“特征函數(shù)”；

③“特征函數(shù)”至少有一個零點；

④是一個“特征函數(shù)”．

A.1B.2C.3D.4

Answer 1

【答案】C

【解析】

利用新定義“特征函數(shù)”，對選項逐個進(jìn)行判定，即可求解，得到答案．

對于①中，設(shè)，當(dāng)時，函數(shù)是一個“特征函數(shù)”，

所以不是唯一的一個常值的“特征函數(shù)”，所以①不正確；

對于②中，函數(shù)，

則，即，

當(dāng)時，，

當(dāng)時，方程由唯一的解，

所以不存在常數(shù)使得對任意實數(shù)都成立，

所以函數(shù)不是“特征函數(shù)”，所以②正確．

對于③中，令，可得，所以，

若，顯然有實數(shù)根，若，，

又因為的函數(shù)圖象是連續(xù)的，所以在上必由實數(shù)根，

因此任意的“特征函數(shù)”必有實根，即任意“特征函數(shù)”至少有一個零點，

所以③是正確；

對于④中，假設(shè)是一個“特征函數(shù)”，則對任意的實數(shù)成立，

則有，而此式有解，所以是“特征函數(shù)”，所以④正確的，

所以正確命題共有②③④．

故選：C．