Question

【題目】（1）求證：橢圓中斜率為的平行弦的中點(diǎn)軌跡必過(guò)橢圓中心；

（2）用作圖方法找出下面給定橢圓的中心；

（3）我們把由半橢圓與半橢圓合成的曲線稱作“果圓”，其中，，.如圖，設(shè)點(diǎn)，，是相應(yīng)橢圓的焦點(diǎn)，，和，是“果圓” 與，軸的交點(diǎn). 連結(jié)“果圓”上任意兩點(diǎn)的線段稱為“果圓”的弦.試研究：是否存在實(shí)數(shù)，使斜率為的“果圓”平行弦的中點(diǎn)軌跡總是落在某個(gè)橢圓上？若存在，求出所有可能的值，若不存在，說(shuō)明理由.

Answer 1

【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）作圖見(jiàn)解析；（3）存在，

【解析】

（1）根據(jù)點(diǎn)差法可求出平行弦的中點(diǎn)的軌跡方程為，顯然直線經(jīng)過(guò)橢圓中心原點(diǎn)；

（2）由（1）知，平行弦的中點(diǎn)軌跡必過(guò)橢圓中心，所以作出兩組平行弦的中點(diǎn)軌跡所在直線，兩條直線的交點(diǎn)即為橢圓的中心；

（3）由（1）的結(jié)論可知，．設(shè)出直線和弦的中點(diǎn)坐標(biāo)，即可求得中點(diǎn)所在的軌跡方程為橢圓方程．當(dāng)或時(shí)，平行弦的軌跡可以在直線上，不總在橢圓上．

（1）證明：設(shè)斜率為的直線與橢圓交于點(diǎn)兩點(diǎn)，．

中點(diǎn)坐標(biāo)為，所以 ，

所以，，作差得，，

即有，即，再根據(jù)中點(diǎn)在橢圓內(nèi)部，所以，即

，解得．

故平行弦的中點(diǎn)的軌跡方程為，，

所以橢圓中斜率為的平行弦的中點(diǎn)軌跡過(guò)橢圓中心．

（2）如圖所示，點(diǎn)即為橢圓中心．

（3）由（1）的結(jié)論可知，．

設(shè)交“果圓”于兩點(diǎn)，中點(diǎn)為，則，，則，即．

易證，

當(dāng)或時(shí)，“果圓”的平行弦的軌跡可以在直線上，不總在橢圓上．

所以，當(dāng)時(shí)，“果圓”的平行弦的中點(diǎn)軌跡總是落在某個(gè)橢圓上．