Question

【題目】已知點(diǎn)和橢圓. 直線與橢圓交于不同的兩點(diǎn).

(Ⅰ) 求橢圓的離心率；

(Ⅱ) 當(dāng)時(shí)，求的面積；

（Ⅲ）設(shè)直線與橢圓的另一個交點(diǎn)為，當(dāng)為中點(diǎn)時(shí)，求的值 .

Answer 1

【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）4（Ⅲ）

【解析】

（Ⅰ）利用已知條件求出a，c，然后求解橢圓的離心率即可；

（Ⅱ）設(shè)P（x1，y1），Q（x2，y2），直線l的方程為，與橢圓聯(lián)立，求出坐標(biāo)，然后求解三角形的面積；

（Ⅲ）法一：設(shè)點(diǎn)C（x3，y3），P（x1，y1），B（0，﹣2），結(jié)合橢圓方程求出P（x1，y1），然后求解斜率．

法二：設(shè)C（x3，y3），顯然直線PB有斜率，設(shè)直線PB的方程為y＝k1x﹣2，與橢圓聯(lián)立，利用韋達(dá)定理求出P的坐標(biāo)，求解斜率即可．

（Ⅰ）因?yàn)?/span>，所以

所以離心率

（Ⅱ）設(shè)

若，則直線的方程為

由，得

解得

設(shè)，則

（Ⅲ）法一：

設(shè)點(diǎn)，

因?yàn)?/span>，，所以

又點(diǎn)，都在橢圓上，

所以

解得或

所以 或

法二：

設(shè)

顯然直線有斜率，設(shè)直線的方程為

由， 得

所以

又

解得 或

所以 或

所以或