Question

【題目】已知拋物線： （）的通徑（過焦點(diǎn)且垂直于對稱軸的弦）長為，橢圓： （）的離心率為，且過拋物線的焦點(diǎn).

（1）求拋物線和橢圓的方程；

（2）過定點(diǎn)引直線交拋物線于、兩點(diǎn)（在的左側(cè)），分別過、作拋物線的切線， ，且與橢圓相交于、兩點(diǎn)，記此時(shí)兩切線， 的交點(diǎn)為.

①求點(diǎn)的軌跡方程；

②設(shè)點(diǎn)，求的面積的最大值，并求出此時(shí)點(diǎn)的坐標(biāo).

Answer 1

【答案】(1) (2)①②有最大值為點(diǎn)坐標(biāo)為

【解析】試題分析：1）由拋物線C2：x2=2py（p＞0）的通徑長為4，得p=2，由此能求出拋物線C2的方程．由題意C2焦點(diǎn)坐標(biāo)為（0，1），，由此能求出橢圓C1的方程．

（2）①設(shè)， ，由點(diǎn)、、三點(diǎn)共線得，設(shè)切線的方程為，與拋物線方程聯(lián)立消去，得

，可得，即，同理可得，切線的方程為聯(lián)立兩方程解得，點(diǎn)坐標(biāo)為)，由此能求出點(diǎn)C的軌跡方程．

②設(shè)l1與橢圓方程聯(lián)立，得： ，由此利用韋達(dá)定理和根的判別式結(jié)合已和條件能求出△DPQ的面積的最大值和此時(shí)點(diǎn)C的坐標(biāo)．

試題解析：

（1）∵拋物線的通徑長為

∴，得

∴拋物線的方程為

∵拋物線的焦點(diǎn)在橢圓上

∴，得

∵橢圓的離心率為

∴

∴橢圓的方程為

（2）設(shè)，

其中， ，

∵點(diǎn)、、三點(diǎn)共線

∴

∴（*）

設(shè)切線的方程為，與拋物線方程聯(lián)立消去，得

，由，可得

即

同理可得，切線的方程為

聯(lián)立兩方程解得，點(diǎn)坐標(biāo)為

①設(shè)點(diǎn)，則，

代入（*）式得，點(diǎn)的軌跡方程為：

②由切線和橢圓方程，消去得：

，

∴，

∴

，

∵點(diǎn)到切線的距離為

∴的面積為

∴當(dāng)， 時(shí)， 有最大值為

此時(shí)，由（*）可得

∴點(diǎn)坐標(biāo)為