Question

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，直線與拋物線相交于、兩點(diǎn).

（1）求證：“如果直線過點(diǎn)，那么”是真命題；

（2）寫出（1）中命題的逆命題，判斷它是真命題還是假命題，并說明理由.

Answer 1

【答案】(1)見解析(2)見解析

【解析】試題分析：（1）設(shè)出A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)根據(jù)向量的點(diǎn)乘運(yùn)算求證即可，

（2）把（1）中題設(shè)和結(jié)論變換位置然后設(shè)出A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)根據(jù)向量運(yùn)算求證即可．

試題解析：

證明：（1）設(shè)過點(diǎn)的直線交拋物線于點(diǎn)，

當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，直線的方程為，此時(shí)，

直線與拋物線相交于點(diǎn)、，∴

當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線的方程為，其中

由得，則

又∵， ，∴

綜上所述，命題“如果直線過點(diǎn)，那么”是真命題.

（2）逆命題是：設(shè)直線交拋物線于、兩點(diǎn)，

如果，那么直線過點(diǎn)，

該命題是假命題.

例如：取拋物線上的點(diǎn)， .此時(shí)

直線的方程為，而不在直線上.