若函數(shù)f(x)=ax3-bx+4,當(dāng)x=2時(shí),函數(shù)f(x)有極值-.
(1)求函數(shù)的解析式.
(2)若方程f(x)=k有3個(gè)不同的根,求實(shí)數(shù)k的取值范圍.
(1) f(x)=x3-4x+4.(2)-
<k<
.
解析試題分析:f′(x)=3ax2-b.
(1)由題意得解得
故所求函數(shù)的解析式為f(x)=x3-4x+4.
(2)由(1)可得f′(x)=x2-4=(x-2)(x+2),
令f′(x)=0,得x=2或x=-2.
當(dāng)x變化時(shí),f′(x),f(x)的變化情況如下表:
因此,當(dāng)x=-2時(shí),f(x)有極大值x (-∞,-2) -2 (-2,2) 2 (2,+∞) f′(x) + 0 - 0 + f(x) ? ?
- ,
當(dāng)x=2時(shí),f(x)有極小值-,
所以函數(shù)f(x)=x3-4x+4的圖象大致如圖所示.
若f(x)=k有3個(gè)不同的根,則直線y=k與函數(shù)f(x)的圖象有3個(gè)交點(diǎn),所以-<k<
.
考點(diǎn):本題主要考查函數(shù)的解析式,應(yīng)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值。
點(diǎn)評(píng):中檔題,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值、最值,是導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用中的基本問題。本題(II)應(yīng)用導(dǎo)數(shù),通過研究函數(shù)的單調(diào)性、極值等,對(duì)函數(shù)的圖象有了充分的了解,明確了函數(shù)零點(diǎn)情況。
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
已知函數(shù),
,(
).
(1)求函數(shù)的極值;
(2)已知,函數(shù)
,
,判斷并證明
的單調(diào)性;
(3)設(shè),試比較
與
,并加以證明.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
已知曲線 y = x3 + x-2 在點(diǎn) P0 處的切線 與直線4x-y-1=0平行,且點(diǎn) P0 在第三象限,
(1)求P0的坐標(biāo);
(2)若直線 , 且 l 也過切點(diǎn)P0 ,求直線l的方程.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
已知函數(shù)的圖像在點(diǎn)
處的切線方程為
.
(Ⅰ)求實(shí)數(shù)的值;
(Ⅱ)設(shè)是[
)上的增函數(shù), 求實(shí)數(shù)
的最大值.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
理科(本小題14分)已知函數(shù),當(dāng)
時(shí),函數(shù)
取得極大值.
(Ⅰ)求實(shí)數(shù)的值;(Ⅱ)已知結(jié)論:若函數(shù)
在區(qū)間
內(nèi)導(dǎo)數(shù)都存在,且
,則存在
,使得
.試用這個(gè)結(jié)論證明:若
,函數(shù)
,則對(duì)任意
,都有
;(Ⅲ)已知正數(shù)
滿足
求證:當(dāng)
,
時(shí),對(duì)任意大于
,且互不相等的實(shí)數(shù)
,都有
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題
(本題滿分12分) 設(shè)函數(shù).
(Ⅰ)判斷能否為函數(shù)
的極值點(diǎn),并說明理由;
(Ⅱ)若存在,使得定義在
上的函數(shù)
在
處取得最大值,求實(shí)數(shù)
的最大值.
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