Question

【題目】已知橢圓：的離心率為，設(shè)直線過橢圓的上頂點(diǎn)和右焦點(diǎn)，坐標(biāo)原點(diǎn)到直線的距離為2.

（1）求橢圓的方程.

（2）過點(diǎn)且斜率不為零的直線交橢圓于，兩點(diǎn)，在軸的正半軸上是否存在定點(diǎn)，使得直線，的斜率之積為非零的常數(shù)？若存在，求出定點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由.

Answer 1

【答案】（1）（2）存在，

【解析】

（1）.根據(jù)過橢圓的上頂點(diǎn)和右頂點(diǎn)，得到的方程為，根據(jù)點(diǎn)到直線的距離為2結(jié)合離心率求解.

（2）設(shè)直線的方程為，，.聯(lián)立方程組消去得，，將韋達(dá)定理代入上式研究與m無關(guān)即可.

（1）設(shè)橢圓的半焦距為，根據(jù)題意，得.

因?yàn)?/span>過橢圓的上頂點(diǎn)和右頂點(diǎn)，所以的方程為，即.

又由點(diǎn)到直線的距離為2，得，所以.

設(shè)，，則，解得，從而，

所以橢圓的方程為.

（2）依題意設(shè)直線的方程為，，.

聯(lián)立方程組，消去得，

，

所以，，

，

.

假設(shè)存在定點(diǎn)，使得直線，的斜率之積為非零常數(shù)，

則.

要使為非零常數(shù)，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)成立，

此時(shí)，，

所以軸的正半軸上存在定點(diǎn)，使得直線，的斜率之積為常數(shù).