Question

【題目】已知橢圓.

（Ⅰ）若的一個(gè)焦點(diǎn)為，且點(diǎn)在上，求橢圓的方程；

（Ⅱ）已知上有兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，且，求線段的最小值（用表示）.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.

【解析】

(Ⅰ)由橢圓焦點(diǎn)為,可得,再依據(jù)點(diǎn)在橢圓上,列出方程組解出,即可得橢圓方程;

(Ⅱ)先求出直線斜率不存在時(shí)的長(zhǎng)度,然后當(dāng)直線斜率存在時(shí),設(shè)直線方程為,將之與橢圓方程聯(lián)立,得到韋達(dá)定理,結(jié)合可得,再利用弦長(zhǎng)公式求出,最后對(duì)比兩種情況下的長(zhǎng)度,進(jìn)而求出最小值.

(Ⅰ)因?yàn)闄E圓焦點(diǎn)為,.

又點(diǎn)在上,則有,

解得.

橢圓方程為.

(Ⅱ)①當(dāng)直線斜率不存在時(shí),根據(jù)對(duì)稱性可知直線,直線的方程為,

將之代入中,可得,

所以.

②當(dāng)直線斜率存在時(shí),設(shè)直線方程為.

聯(lián)立

得,

由,可得,

又,

,

,

.

綜上所述,的最小值為.