Question

【題目】為進(jìn)一步深化“平安校園”創(chuàng)建活動，加強(qiáng)校園安全教育宣傳，某高中對該校學(xué)生進(jìn)行了安全教育知識測試（滿分100分），并從中隨機(jī)抽取了200名學(xué)生的成績，經(jīng)過數(shù)據(jù)分析得到如圖1所示的頻數(shù)分布表，并繪制了得分在以及的莖葉圖，分別如圖23所示．

成績
頻數(shù)	5	30	40	50	45	20	10

圖1

（1）求這200名同學(xué)得分的平均數(shù)；（同組數(shù)據(jù)用區(qū)間中點值作代表）

（2）如果變量滿足且，則稱變量“近似滿足正態(tài)分布的概率分布”．經(jīng)計算知樣本方差為210，現(xiàn)在取和分別為樣本平均數(shù)和方差，以樣本估計總體，將頻率視為概率，如果該校學(xué)生的得分“近似滿足正態(tài)分布的概率分布”，則認(rèn)為該校的校園安全教育是成功的，否則視為不成功．試判斷該校的安全教育是否成功，并說明理由．

（3）學(xué)校決定對90分及以上的同學(xué)進(jìn)行獎勵，為了體現(xiàn)趣味性，采用抽獎的方式進(jìn)行，其中得分不低于94的同學(xué)有兩次抽獎機(jī)會，低于94的同學(xué)只有一次抽獎機(jī)會，每次抽獎的獎金及對應(yīng)的概率分別為：

獎金	50	100
概率

現(xiàn)在從不低于90同學(xué)中隨機(jī)選一名同學(xué)，記其獲獎金額為，以樣本估計總體，將頻率視為概率，求的分布列和數(shù)學(xué)期望．

（參考數(shù)據(jù)：）

Answer 1

【答案】（1）65；（2）是成功的，理由詳見解析；（3）分布列詳見解析，數(shù)學(xué)期望為87.5

【解析】

（1）每組的中間成績乘以對應(yīng)的頻率再求和，就是所求的平均數(shù)；

（2）計算的概率，結(jié)合莖葉圖中的數(shù)據(jù)即可進(jìn)行判斷；

（3）的可能取值為：50,100,150,200，計算每個數(shù)值對應(yīng)的概率，進(jìn)而得到的分布列，由此計算得出期望.

解（1）據(jù)頻數(shù)分布表得：

，

所以平均數(shù)為65．

（2）該校的安全教育是成功的．理由如下：

因為，所以，，

，，

而且據(jù)莖葉圖2，3知：得分小于36分的學(xué)生有3個，得分大于94分的有4個，

所以，

因為學(xué)生的得分都在之間，所以，

所以學(xué)生的得分“近似滿足正態(tài)分布的概率分布”，因此該校的安全教育是成功的．

（3）設(shè)這名同學(xué)獲得的獎金為，則的可能取值為50，100，150，200．

，

，

，

，

分布列為

	50	100	150	200

．