Question

【題目】如圖所示，在棱長為2的正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，E、F分別為DD1、DB的中點．

（1）求證：EF⊥B1C；
（2）求三棱錐E﹣FCB1的體積．

Answer 1

【答案】
（1）證明：∵ABCD﹣A1B1C1D1是正方體，

∴B1C⊥AB，B1C⊥BC1，又AB∩BC1=B

∴B1C⊥平面ABC1D1，

∴B1C⊥BD1，

又∵E、F分別為DD1、DB的中點，∴EF∥BD1，

∴EF⊥B1C

（2）解：∵CF⊥平面BDD1B1，

∴CF⊥平面EFB1，

由已知得CF=BF= ，

∵EF= BD1， ， = ，

∴ ，即∠EFB1=90°，

∴ = =

【解析】（1）由已知在棱長為2的正方體ABCD﹣A1B1C1D1中，E、F分別為DD1、DB的中點，可得B1C⊥AB，B1C⊥BC1 ， 進一步得到B1C⊥平面ABC1D1 ， 進而B1C⊥BD1 ， 再由中位線定理即可得到EF⊥B1C；（2）由題意，可先證明出CF⊥平面BDD1B1 ， 由此得出三棱錐的高，再求出底面△B1EF的面積，然后由等積法把三棱錐E﹣FCB1的體積轉(zhuǎn)化為C﹣B1EF的體積求解．