【題目】一艘輪船在航行中燃料費和它的速度的立方成正比.已知速度為每小時10千米時,燃料費是每小時6元,而其他與速度無關(guān)的費用是每小時96元,問輪船的速度是多少時,航行1千米所需的費用總和最少?
【答案】當(dāng)速度為20千米/小時時,航行1千米所需費用總和最少
【解析】
試題設(shè)速度為每小時v千米時，由題可得行駛1千米的總費用為q=
(0.006v3+96)=0.006v2+
. 再用導(dǎo)數(shù)作為工具求解該最值問題即可.
試題解析：設(shè)速度為每小時v千米時,燃料費是每小時p元,那么由題設(shè)知p=kv3,因為v=10,p=6,所以k=
=0.006.于是有p=0.006v3.
又設(shè)船的速度為每小時v千米時,行駛1千米所需的總費用為q元,那么每小時所需的總費用是(0.006v3+96)元,而行駛1千米所用時間為小時,所以行駛1千米的總費用為
q=(0.006v3+96)=0.006v2+.
q′=0.012v-
=
(v3-8000),
令q′=0,解得v=20.
當(dāng)v<20時,q′<0;當(dāng)v>20時,q′>0,
所以當(dāng)v=20時,q取得最小值.
即當(dāng)速度為20千米/小時時,航行1千米所需費用總和最少.
點晴：本題考查函數(shù)模型的應(yīng)用，考查建立函數(shù)模型解決實際問題的思想和方法．建立起函數(shù)模型之后選擇導(dǎo)數(shù)作為工具求解該最值問題． 根據(jù)題意建立相應(yīng)的函數(shù)模型是解決本題的關(guān)鍵．建立起函數(shù)的模型之后，根據(jù)函數(shù)的類型選擇合適的方法求解相應(yīng)的最值問題，充分發(fā)揮導(dǎo)數(shù)的工具作用．
科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】已知某公司生產(chǎn)某款手機(jī)的年固定成本為40萬元，每生產(chǎn)1萬只還需另投入16萬元.設(shè)該公司一年內(nèi)共生產(chǎn)該款手機(jī)
萬只并全部銷售完，每萬只的銷售收入為
萬元，且
（1）寫出年利潤
（萬元）關(guān)于年產(chǎn)量
（萬只）的函數(shù)解析式；
（2）當(dāng)年產(chǎn)量為多少萬只時，該公司在該款手機(jī)的生產(chǎn)中所獲得的利潤最大？并求出最大利潤.
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】已知
（
且
）是R上的奇函數(shù)，且
.
（1）求
的解析式；
（2）若關(guān)于x的方程
在區(qū)間
內(nèi)只有一個解，求m的取值集合；
（3）設(shè)
，記
，是否存在正整數(shù)n，使不得式
對一切
均成立？若存在，求出所有n的值，若不存在，說明理由.
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】設(shè)函數(shù)
.
（1）當(dāng)
時，求函數(shù)
的最大值；
（2）令
其圖象上任意一點
處切線的斜率
恒成立，求實數(shù)
的取值范圍；
（3）當(dāng)
，
，方程
有唯一實數(shù)解，求正數(shù)
的值
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】一個不透明的箱子中裝有大小形狀相同的5個小球，其中2個白球標(biāo)號分別為
，
，3個紅球標(biāo)號分別為
，
，
，現(xiàn)從箱子中隨機(jī)地一次取出兩個球.
（1）求取出的兩個球都是白球的概率；
（2）求取出的兩個球至少有一個是白球的概率.
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】在平面直角坐標(biāo)系
中，已知拋物線
：
，過拋物線焦點
且與
軸垂直的直線與拋物線相交于
、
兩點，且
的周長為
.
（1）求拋物線的方程；
（2）若直線
過焦點且與拋物線相交于
、
兩點，過點、分別作拋物線的切線
、
，切線與相交于點
，求：
的值.
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】已知函數(shù)
，若在定義域內(nèi)存在
，使得
成立，則稱為函數(shù)的局部對稱點.
（1）若
且
，證明：函數(shù)
必有局部對稱點；
（2）若函數(shù)
在定義域
內(nèi)有局部對稱點，求實數(shù)
的取值范圍；
（3）若函數(shù)
在
上有局部對稱點，求實數(shù)
的取值范圍.
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】中央政府為了應(yīng)對因人口老齡化而造成的勞動力短缺等問題，擬定出臺“延遲退休年齡政策”.為了了解人們對“延遲退休年齡政策”的態(tài)度，責(zé)成人社部進(jìn)行調(diào)研.人社部從網(wǎng)上年齡在15～65歲的人群中隨機(jī)調(diào)查100人，調(diào)查數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖如圖所示, 支持“延遲退休年齡政策”的人數(shù)與年齡的統(tǒng)計結(jié)果如表：
年齡（歲） |
|
|
|
|
|
支持“延遲退休年齡政策”人數(shù) | 15 | 5 | 15 | 28 | 17 |
（I）由以上統(tǒng)計數(shù)據(jù)填寫下面的
列聯(lián)表；
年齡低于45歲的人數(shù) | 年齡不低于45歲的人數(shù) | 總計 | |
支持 | |||
不支持 | |||
總計 |
（II）通過計算判斷是否有
的把握認(rèn)為以45歲為分界點的不同人群對“延遲退休年齡政策”的態(tài)度有差異.
| 0.100 | 0.050 | 0.010 | 0.001 |
| 2.706 | 3.841 | 6.635 | 10.828 |
參考公式：
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】一個口袋中有
個白球和
個紅球（
，且
），每次從袋中摸出兩個球（每次摸球后把這兩個球放回袋中），若摸出的兩個球顏色相同為中獎，否則為不中獎．
(1)試用含
的代數(shù)式表示一次摸球中獎的概率
；
(2)若
，求三次摸球恰有一次中獎的概率；
(3)記三次摸球恰有一次中獎的概率為
，當(dāng)
為何值時，
取最大值.
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