Question

定義域為D的單調(diào)函數(shù)y=f（x），如果存在區(qū)間[a，b]⊆D，滿足當定義域為是[a，b]時，f（x）的值域也是[a，b]，則稱[a，b]是該函數(shù)的“可協(xié)調(diào)區(qū)間”；如果函數(shù)y=

(a2+a)x-1

a2x

（a≠0）的一個可協(xié)調(diào)區(qū)間是[m，n]，則n-m的最大值是（　　）

• A、2
• B、3
• C、

  2 3

  3

• D、4

Answer 1

考點：函數(shù)的值域

專題：新定義,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：由已知，既然因為已知函數(shù)存在“可協(xié)調(diào)區(qū)間”，且其在（-∞，0），（0，+∞）都是增函數(shù)，所以有

f(m)=m f(n)=n

，然后將n-m表示成某個變量的函數(shù)，求其最大值．

解答： 解：令f（x）=

(a2+a)x-1

a2x

（a≠0），定義域為（-∞，0）∪（0，+∞），又[m，n]是函數(shù)f（x）的可協(xié)調(diào)區(qū)間，所以[m，n]⊆（-∞，0）或[m，n]⊆（0，+∞）
又f′（x）=

1

a2x2

＞0，x∈[m，n]，所以f（x）=

(a2+a)x-1

a2x

（a≠0）在[m，n]上是增函數(shù)，
所以f（m）=m，f（n）=n，所以m，n是方程

(a2+a)x-1

a2x

=x（a≠0），即方程a²x²-（a²+a）x+1=0（a≠0）兩個同號的互異實數(shù)根，
則只需

mn= 1 a2 ＞0 △=(a2+a)2-4a2＞0

解得a＞1或a＜-3，
所以n-m=

(m+n)2-4mn

=

( a2+a a2 )2- 4 a2

=

- 3 a2 + 2 a +1

=

-3( 1 a - 1 3 )2+ 4 3

，
結(jié)合a＞1或a＜-3，當a=3時，n-m的最大值為

4 3

，即

2 3

3

．
故選C

點評：本題屬于信息給予題，準確理解“可協(xié)調(diào)區(qū)間”是解題的關(guān)鍵，屬于中檔題．