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        1. 【題目】在四棱錐P﹣ABCD中,△ABC為正三角形,AB⊥AD,AC⊥CD,PA⊥平面ABCD,PC與平面ABCD所成角為45°
          (1)若E為PC的中點,求證:PD⊥平面ABE;
          (2)若CD= ,求點B到平面PCD的距離.

          【答案】
          (1)證明:∵PA⊥平面ABCD,CD平面ABCD,∴PA⊥CD.

          ∵AC⊥CD,PA∩AC=A,∴CD⊥平面PAC,而AE平面PAC,∴CD⊥AE.

          ∵PC與平面ABCD所成角為45°

          ∴AC=PA,

          ∵E是PC的中點,∴AE⊥PC,又PC∩CD=C,∴AE⊥平面PCD,

          而PD平面PCD,∴AE⊥PD.

          ∵PA⊥底面ABCD,∴平面PAD⊥平面ABCD,又AB⊥AD,

          由面面垂直的性質(zhì)定理可得BA⊥平面PAD,AB⊥PD,

          又AB∩AE=A,∴PD⊥平面ABE.


          (2)解:CD= ,可得AC=3,

          ∵PA⊥平面ABCD,∴PA⊥AC,∴PC=3 ,

          由(1)的證明知,CD⊥平面PAC,∴CD⊥PC,

          ∵AB⊥AD,△ABC為正三角形,∴∠CAD=30°,

          ∵AC⊥CD,∴CD=ACtan30°=

          設(shè)點B的平面PCD的距離為d,則VB﹣PCD= × ×3 × ×d= d.

          在△BCD中,∠BCD=150°,∴S△BCD= ×3× sin150°=

          ∴VP﹣BCD= × ×3=

          ∵VB﹣PCD=VP﹣BCD,∴ d= ,解得d= ,

          即點B到平面PCD的距離為


          【解析】(1)利用線面垂直的判定與性質(zhì)定理可得CD⊥平面PAC,CD⊥AE.利用等腰三角形的性質(zhì)與線面垂直的判定定理可得:AE⊥平面PCD,可得AE⊥PD.利用面面垂直的性質(zhì)定理與線面垂直的判定定理可得AB⊥PD,進而證明結(jié)論.(2)設(shè)點B的平面PCD的距離為d,利用VB﹣PCD=VP﹣BCD即可得出.
          【考點精析】掌握直線與平面垂直的判定是解答本題的根本,需要知道一條直線與一個平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直,則該直線與此平面垂直;注意點:a)定理中的“兩條相交直線”這一條件不可忽視;b)定理體現(xiàn)了“直線與平面垂直”與“直線與直線垂直”互相轉(zhuǎn)化的數(shù)學思想.

          練習冊系列答案
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