Question

【題目】已知函數(shù) .

（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；

（2）當(dāng)時(shí)，證明：對任意的，有.

Answer 1

【答案】(1)答案見解析；(2)證明見解析.

【解析】試題分析：

(1)由題意結(jié)合導(dǎo)函數(shù)的解析式分類討論有：

當(dāng)時(shí)， 在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；

當(dāng)時(shí)， 在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；

當(dāng)時(shí)， 在上單調(diào)遞增；

當(dāng)時(shí)， 在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；

(2)原問題等價(jià)于在上恒成立，構(gòu)造函數(shù)，據(jù)此可得，則恒成立.

試題解析：

（1）由題意得，

當(dāng)時(shí)，由得且，

則

①當(dāng)時(shí)， 在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；

②當(dāng)時(shí)， 在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；

③當(dāng)時(shí)， 在上單調(diào)遞增；

④當(dāng)時(shí)， 在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；

（2）當(dāng)時(shí)，要證在上恒成立，

只需證在上恒成立，

令，

因?yàn)?/span>，

易得在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，故，

由得，得，

當(dāng)時(shí)， ；當(dāng)時(shí)， ，

所以，

又，所以，即，

所以在上恒成立，

故當(dāng)時(shí)，對任意的， 恒成立.