Question

【題目】已知直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），以平面直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，橢圓的極坐標(biāo)方程為.

（1）求直線的普通方程（寫成一般式）和橢圓的直角坐標(biāo)方程（寫成標(biāo)準(zhǔn)方程）；

（2）若直線與橢圓相交于，兩點(diǎn)，且與軸相交于點(diǎn)，求的值.

Answer 1

【答案】（1），；（2）.

【解析】

（1）直線的參數(shù)方程消去參數(shù)，即得直線的普通方程，將，代入極坐標(biāo)方程，即得橢圓的直角坐標(biāo)方程；

（2）寫出直線的標(biāo)準(zhǔn)參數(shù)方程，代入橢圓的普通方程，得到點(diǎn)，對應(yīng)的參數(shù)值分別為，，由參數(shù)的幾何意義，即得解.

（1）由（為參數(shù)）消去參數(shù)，

即得直線的普通方程為，

將，代入，

得，

即橢圓的直角坐標(biāo)方程為；

（2）由（1）知直線：與軸的交點(diǎn)的坐標(biāo)為，直線的標(biāo)準(zhǔn)

參數(shù)方程為：（為參數(shù)），

代入，化得，

設(shè)點(diǎn)，對應(yīng)的參數(shù)值分別為，，

則，，且，異號(hào)，所以