Question

【題目】已知拋物線C：x2＝2py（p＞0）的焦點(diǎn)為（0,1）

（1）求拋物線C的方程；

（2）設(shè)直線l2：y＝kx+m與拋物線C有唯一公共點(diǎn)P，且與直線l1：y＝﹣1相交于點(diǎn)Q，試問，在坐標(biāo)平面內(nèi)是否存在點(diǎn)N，使得以PQ為直徑的圓恒過點(diǎn)N？若存在，求出點(diǎn)N的坐標(biāo)，若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】（1）x2＝4y；（2）存在N（0,1）

【解析】

（1）根據(jù)拋物線的交點(diǎn)坐標(biāo)，即可得到，從而求得拋物線方程；

（2）根據(jù)拋物線與直線相切，求得切點(diǎn)的坐標(biāo)，以及之間的等量關(guān)系，再求出點(diǎn)的坐標(biāo)，從而寫出圓的方程，再求圓恒過的定點(diǎn)即可.

（1）由題意，，

所以p＝2，

∴拋物線C的方程為：x2＝4y；

（2）由得x2﹣4kx﹣4m＝0（*），

由直線y＝kx+m與拋物線C只有一個公共點(diǎn)，

可得，解得m＝﹣k2，代入到（*）式得x＝2k，

∴P（2k,k2），

當(dāng)y＝﹣1時，代入到y＝kx﹣k2

得Q（），

∴以PQ為直徑的圓的方程為：

，

整理得：，

若圓恒過定點(diǎn)，則，

解得，

∴存在點(diǎn)N（0,1），使得以PQ為直徑的圓恒過點(diǎn)N．