Question

【題目】已知函數(shù)．

（1）研究函數(shù)的單調(diào)性；

（2）研究函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)情況，并指出對應(yīng)的范圍．

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）當(dāng)時(shí)，存在唯一零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，無零點(diǎn)

【解析】

（1）首先確定函數(shù)定義域和導(dǎo)函數(shù)；分別在、、和四種情況下，根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)，確定原函數(shù)的單調(diào)性；

（2）根據(jù)（1）中函數(shù)的單調(diào)性，分別在、、和四種情況下根據(jù)函數(shù)的極值和最值，結(jié)合單調(diào)性確定零點(diǎn)個(gè)數(shù).

（1）由題意得：定義域?yàn)?/span>，

①當(dāng)時(shí)，令得：

則當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，

在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減

②當(dāng)時(shí)，，即 在上單調(diào)遞增

③當(dāng)時(shí)，

令，解得：，

則當(dāng)和時(shí)，；當(dāng)時(shí)，

在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減

④當(dāng)是，

令，解得：，

則當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，

在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減

（2）①當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減

；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，

不存在零點(diǎn)

②當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減

且

，

令，則

在上單調(diào)遞增

又當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，

不存在零點(diǎn)

③當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增

當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，

必存在唯一零點(diǎn)

④當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減

且

，

令，則

在上單調(diào)遞增

又當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，

必存在唯一零點(diǎn)

綜上所述：當(dāng)時(shí)，存在唯一零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，無零點(diǎn)