Question

【題目】如圖，在四棱錐中，，，，，，平面平面，二面角為.

（1）求證：平面；

（2）求直線與平面所成角的正弦值.

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）

【解析】

（1）證明平面可得，且為二面角的平面角，計(jì)算出，可根據(jù)勾股定理得出，可得平面.
（2）建立空間坐標(biāo)系，求出平面的法向量,則為直線與平面所成角的正弦值．

解：（1）因?yàn)槠矫?/span>平面

平面平面，面，.

所以平面，

因?yàn)?/span>平面，所以，

又因?yàn)?/span>，

所以即為二面角的平面角，所以，

又因?yàn)樵?/span>中，，，由余弦定理得，

所以，所以，

又因?yàn)?/span>平面，平面，所以，

又因?yàn)?/span>，所以平面.

（2）在平面內(nèi)過點(diǎn)作.垂足為，

因?yàn)槠矫?/span>平面，平面平面，所以平面，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.

因?yàn)?/span>，，，，

所以，，，，

，，，

設(shè)平面的法向量為，

所以，即，

取，則平面的一個(gè)法向量為.

記直線與平面所成角為，則，

所以直線與平面所成角的正弦值為.