Question

【題目】已知函數(shù)

若時(shí)，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

若，則當(dāng)時(shí)，函數(shù)的圖像是否總存在直線上方？請(qǐng)寫(xiě)出判斷過(guò)程．

Answer 1

【答案】(1) 在上單調(diào)遞增；在上單調(diào)遞減. (2)見(jiàn)解析

【解析】試題分析：（1）先求函數(shù)導(dǎo)數(shù),再求導(dǎo)函數(shù)零點(diǎn),列表分析導(dǎo)函數(shù)符號(hào)變化規(guī)律,進(jìn)而確定單調(diào)區(qū)間（2）先利用導(dǎo)數(shù)確定函數(shù)在上的單調(diào)性: 在遞增，在遞減，得最小值為，再轉(zhuǎn)化求證,構(gòu)造函數(shù),利用導(dǎo)數(shù)易得函數(shù)先減后增,其最小值大于零

試題解析：解：（1）函數(shù)定義域?yàn)?/span>，

則即

令時(shí)，

則當(dāng)和時(shí)

當(dāng)時(shí)

所以函數(shù)在上單調(diào)遞增；在上單調(diào)遞減.

（2）由已知得，則

當(dāng)時(shí)， 在遞增，在遞減，令，

當(dāng)時(shí)， ， ，

∴函數(shù)圖象在圖象上方；

當(dāng)時(shí)，函數(shù)單調(diào)遞減，

∴其最小值為， 最大值為m+1，

∴下面判斷與m+1的大小，

即判斷與的大小，其中，

令， ，

令，則，

∵，所以， 單調(diào)遞增；

∴, ，

故存在使得，

∴在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增

∴，

∴時(shí)， ，

即也即，

∴函數(shù)的圖象總在直線上方．