Question

【題目】已知點(diǎn)到拋物線C：y2=2px準(zhǔn)線的距離為2．

（Ⅰ）求C的方程及焦點(diǎn)F的坐標(biāo)；

（Ⅱ）設(shè)點(diǎn)P關(guān)于原點(diǎn)O的對(duì)稱點(diǎn)為點(diǎn)Q，過點(diǎn)Q作不經(jīng)過點(diǎn)O的直線與C交于兩點(diǎn)A，B，直線PA，PB，分別交x軸于M，N兩點(diǎn)，求的值．

Answer 1

【答案】(Ⅰ)C的方程為,焦點(diǎn)F的坐標(biāo)為(1,0)；（Ⅱ）2

【解析】

（Ⅰ）根據(jù)拋物線定義求出p，即可求C的方程及焦點(diǎn)F的坐標(biāo)；
（Ⅱ）設(shè)點(diǎn)A(x1,y1),B(x2,y2),由已知得Q(1,2)，由題意直線AB斜率存在且不為0，設(shè)直線AB的方程為y=k(x+1)2(k≠0)，與拋物線聯(lián)立可得ky2-4y+4k-8=0，利用韋達(dá)定理以及弦長(zhǎng)公式，轉(zhuǎn)化求解|MF||NF|的值．

(Ⅰ)由已知得，所以p=2.

所以拋物線C的方程為,焦點(diǎn)F的坐標(biāo)為(1,0)；

(II)設(shè)點(diǎn)A(x1,y1),B(x2,y2),由已知得Q(1,2)，

由題意直線AB斜率存在且不為0.

設(shè)直線AB的方程為y=k(x+1)2(k≠0).

由得，

則,.

因?yàn)辄c(diǎn)A,B在拋物線C上,所以

,.

因?yàn)?/span>PF⊥x軸，

所以

，

所以|MF||NF|的值為2.