[題目]如圖, 直線與拋物線交于兩點, 線段的垂直平分線與直線交于點. (1)求點的坐標(biāo),(2)當(dāng)P為拋物線上位于線段下方(含)的動點時, 求ΔOPQ面積的最大值. 題目和參考答案——青夏教育精英家教網(wǎng)—

【題目】如圖, 直線與拋物線交于兩點, 線段的垂直平分線與直線交于點.

（1）求點的坐標(biāo)；

（2）當(dāng)P為拋物線上位于線段下方（含）的動點時, 求ΔOPQ面積的最大值.

【答案】(1) ；(2) 最大值30

【解析】

（1）把直線方程拋物線方程聯(lián)立求得交點A，B的坐標(biāo)，則AB中點M的坐標(biāo)可得，利用AB的斜率推斷出AB垂直平分線的斜率，進而求得AB垂直平分線的方程，把y=-5代入求得Q的坐標(biāo)．
（2）設(shè)出P的坐標(biāo)，利用P到直線OQ的距離求得三角形的高，利用兩點間的距離公式求得OQ的長，最后利用三角形面積公式表示出三角形OPQ，利用x的范圍和二次函數(shù)的單調(diào)性求得三角形面積的最大值．

解：(1) 解方程組得或

即A(－4,－2),B(8,4), 從而AB的中點為M(2,1).

由,

直線的垂直平分線方程

令, 得, ∴

(2)直線OQ的方程為x+y=0, 設(shè)

∵點P到直線OQ的距離d==,,

∴=.

∵P為拋物線上位于線段AB下方的點, 且P不在直線OQ上,

∴－4≤x<4－4或4－4< x≤8.

∵函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增,

∴當(dāng)x=8時, ΔOPQ的面積取到最大值30

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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知，，.

（Ⅰ）若，求的極值；

（Ⅱ）若函數(shù)的兩個零點為，記，證明：．

【答案】（Ⅰ）極大值為，無極小值；（Ⅱ）證明見解析.

【解析】分析：（Ⅰ）先判斷函數(shù)在上的單調(diào)性，然后可得當(dāng)時，有極大值，無極小值．（Ⅱ）不妨設(shè)，由題意可得，即，又由條件得，構(gòu)造，令，則，利用導(dǎo)數(shù)可得，故得，又，所以．

詳解：（Ⅰ），

，

由得，

且當(dāng)時，，即在上單調(diào)遞增，

當(dāng)時，，即在上單調(diào)遞減，

∴當(dāng)時，有極大值，且，無極小值．

（Ⅱ）函數(shù)的兩個零點為，不妨設(shè)，

，．

，

即，

又，，

，

．

令，則

，

在上單調(diào)遞減，

故，

，

即，

又，

．

點睛：（1）研究方程根的情況，可以通過導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、最大（�。┲�、函數(shù)的變化趨勢等，根據(jù)題目要求，畫出函數(shù)圖象的大體圖象，然后通過數(shù)形結(jié)合的思想去分析問題，可以使得問題的求解有一個清晰、直觀的整體展現(xiàn)．

（2）證明不等式時常采取構(gòu)造函數(shù)的方法，然后通過判斷函數(shù)的單調(diào)性，借助函數(shù)的最值進行證明．

【題型】解答題
【結(jié)束】
22

【題目】在平面直角坐標(biāo)系中，直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)，）．以坐標(biāo)原點為極點，以軸正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，已知曲線的極坐標(biāo)方程為：．

（Ⅰ）求直線的普通方程與曲線的直角坐標(biāo)方程；

（Ⅱ）設(shè)直線與曲線交于不同的兩點，若，求的值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】某校在學(xué)年期末舉行“我最喜歡的文化課”評選活動，投票規(guī)則是一人一票，高一（1）班44名學(xué)生和高一（7）班45名學(xué)生的投票結(jié)果如下表（無廢票）：

	語文	數(shù)學(xué)	外語	物理	化學(xué)	生物	政治	歷史	地理
高一（1）班	6	9	7	5	4	5	3	3	2
高一（7）班		6		4	5	6	5	2	3

該校把上表的數(shù)據(jù)作為樣本，把兩個班同一學(xué)科的得票之和定義為該年級該學(xué)科的“好感指數(shù)”.

（Ⅰ）如果數(shù)學(xué)學(xué)科的“好感指數(shù)”比高一年級其他文化課都高，求的所有取值；

（Ⅱ）從高一（1）班投票給政治、歷史、地理的學(xué)生中任意選取位同學(xué)，設(shè)隨機變量為投票給地理學(xué)科的人數(shù)，求的分布列和期望；

（Ⅲ）當(dāng)為何值時，高一年級的語文、數(shù)學(xué)、外語三科的“好感指數(shù)”的方差最小?（結(jié)論不要求證明）

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【題目】新高考最大的特點就是取消文理分科，除語文、數(shù)學(xué)、外語之外，從物理、化學(xué)、生物、政治、歷史、地理這科中自由選擇三門科目作為選考科目．某研究機構(gòu)為了了解學(xué)生對全文（選擇政治、歷史、地理）的選擇是否與性別有關(guān)，從某學(xué)校高一年級的1000名學(xué)生中隨機抽取男生，女生各人進行模擬選科．經(jīng)統(tǒng)計，選擇全文的人數(shù)比不選全文的人數(shù)少人．