Question

【題目】已知，，.

（Ⅰ）若，求的極值；

（Ⅱ）若函數(shù)的兩個零點為，記，證明：．

【答案】（Ⅰ）極大值為，無極小值；（Ⅱ）證明見解析.

【解析】分析：（Ⅰ）先判斷函數(shù)在上的單調(diào)性，然后可得當時，有極大值，無極小值．（Ⅱ）不妨設，由題意可得，即，又由條件得，構造，令，則，利用導數(shù)可得，故得，又，所以．

詳解：（Ⅰ），

，

由得，

且當時，，即在上單調(diào)遞增，

當時，，即在上單調(diào)遞減，

∴當時，有極大值，且，無極小值．

（Ⅱ）函數(shù)的兩個零點為，不妨設，

，．

，

即，

又，，

，

．

令，則

，

在上單調(diào)遞減，

故，

，

即，

又，

．

點睛：（1）研究方程根的情況，可以通過導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、最大（小）值、函數(shù)的變化趨勢等，根據(jù)題目要求，畫出函數(shù)圖象的大體圖象，然后通過數(shù)形結合的思想去分析問題，可以使得問題的求解有一個清晰、直觀的整體展現(xiàn)．

（2）證明不等式時常采取構造函數(shù)的方法，然后通過判斷函數(shù)的單調(diào)性，借助函數(shù)的最值進行證明．

【題型】解答題
【結束】
22

【題目】在平面直角坐標系中，直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)，）．以坐標原點為極點，以軸正半軸為極軸，建立極坐標系，已知曲線的極坐標方程為：．

（Ⅰ）求直線的普通方程與曲線的直角坐標方程；

（Ⅱ）設直線與曲線交于不同的兩點，若，求的值．

Answer 1

【答案】（Ⅰ），；（Ⅱ）或.

【解析】分析：（Ⅰ）將參數(shù)方程消去參數(shù)可得普通方程，由，得，根據(jù)轉化公式可得直角坐標方程．（Ⅱ）將直線的參數(shù)方程代入曲線C的直角坐標方程整理得二次方程，然后根據(jù)根與系數(shù)的關系及參數(shù)方程中參數(shù)的幾何意義求得弦長，進而可得或．

詳解：（Ⅰ）將（為參數(shù)，）消去參數(shù)，整理得，

∴直線普通方程為．

∵，

∴，

將代入上式，得，

∴曲線的普通方程為．

（Ⅱ）將（為參數(shù)，）代入方程整理得：

，

顯然．

設兩點對應的參數(shù)分別為，

則，

∴，

解得

又，

∴或．