【題目】已知函數(shù)
.
（1）若
，求
的零點個數(shù)；
（2）若
，
，證明：
，
.
【答案】（1）
（2）見解析
【解析】
（1）將a的值代入f(x)，再求導(dǎo)得
，在定義域內(nèi)討論函數(shù)單調(diào)性，再由函數(shù)的最小值正負(fù)來判斷它的零點個數(shù)；（2）把a的值代入f(x)，將
整理化簡為
，即證明該不等式在
上恒成立，構(gòu)造新的函數(shù)
，利用導(dǎo)數(shù)可知其在定義域上的最小值，構(gòu)造函數(shù)
，由導(dǎo)數(shù)可知其定義域上的最大值，二者比較大小，即得證。
（1）解：因為
，所以
.
令
，得
或
；令
，得
，
所以
在
，
上單調(diào)遞增，在
上單調(diào)遞減，
而
，
，
，
所以的零點個數(shù)為1.
（2）證明：因為
，從而
.
又因為
，
所以要證
，恒成立，
即證，
恒成立，
即證，恒成立.
設(shè)，則
，
當(dāng)
時，
，
單調(diào)遞增；
當(dāng)
時，
，單調(diào)遞減.
所以
.
設(shè)，則
，
當(dāng)
時，
，
單調(diào)遞增；
當(dāng)時，
，單調(diào)遞減.
所以
，所以
，
所以，恒成立，
即，.
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】華中師大附中中科教處為了研究高一學(xué)生對物理和數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)是否與性別有關(guān)，從高一年級抽取60,名同學(xué)（男同學(xué)30名，女同學(xué)30名），給所有同學(xué)物理題和數(shù)學(xué)題各一題，讓每位同學(xué)自由選擇一道題進(jìn)行解答.選題情況如下表：（單位：人）
（1）在犯錯誤的概率不超過1%是條件下，能否判斷高一學(xué)生對物理和數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)與性別有關(guān)？
（2）經(jīng)過多次測試后發(fā)現(xiàn)，甲每次解答一道物理題所用的時間5—8分鐘，乙每次解答一道物理題所用的時間為6—8分鐘，現(xiàn)甲、乙解同一道物理題，求甲比乙先解答完的概率；
（3）現(xiàn)從選擇做物理題的8名女生中任意選取兩人，對題目的解答情況進(jìn)行全程研究，記甲、乙兩女生被抽到的人數(shù)為
，求的分布列和數(shù)學(xué)期望.
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】（本小題滿分14分）
已知函數(shù)
的圖象在
上連續(xù)不斷，定義：
，
．
其中，
表示函數(shù)在
上的最小值，
表示函數(shù)在上的最大值．若存在最小正整數(shù)
，使得
對任意的
成立，則稱函數(shù)為上的“階收縮函數(shù)”．
（Ⅰ）若
，
，試寫出
，
的表達(dá)式；
（Ⅱ）已知函數(shù)
，
，試判斷是否為
上的“階收縮函數(shù)”，如果是，求出對應(yīng)的；如果不是，請說明理由；
（Ⅲ）已知
，函數(shù)
是
上的2階收縮函數(shù)，求
的取值范圍.
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】如圖，分別過橢圓
左、右焦點
的動直線
相交于
點，與橢圓
分別交于
與
不同四點，直線
的斜率
滿足
, 已知
與
軸重合時, 
.
（1）求橢圓
的方程；
（2）是否存在定點
使得
為定值，若存在，求出點坐標(biāo)并求出此定值，若不存在，
說明理由.
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】已知
，
，
.
（Ⅰ）若
，求
的極值；
（Ⅱ）若函數(shù)
的兩個零點為
，記
，證明：
．
【答案】（Ⅰ）極大值為
，無極小值；（Ⅱ）證明見解析.
【解析】分析：（Ⅰ）先判斷函數(shù)在
上的單調(diào)性，然后可得當(dāng)
時，有極大值，無極小值．（Ⅱ）不妨設(shè)
，由題意可得
，即
，又由條件得
，構(gòu)造
，令
，則
，利用導(dǎo)數(shù)可得
，故得
，又
，所以
．
詳解：（Ⅰ）
，
，
由
得，
且當(dāng)
時，
，即在
上單調(diào)遞增，
當(dāng)
時，
，即在
上單調(diào)遞減，
∴當(dāng)時，有極大值，且
，無極小值．
（Ⅱ）
函數(shù)的兩個零點為，不妨設(shè)，
，
．
，
即，
又
，，
，
．
令，則
，
在
上單調(diào)遞減，
故，
，
即，
又，
．
點睛：（1）研究方程根的情況，可以通過導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、最大（�。┲怠⒑瘮�(shù)的變化趨勢等，根據(jù)題目要求，畫出函數(shù)圖象的大體圖象，然后通過數(shù)形結(jié)合的思想去分析問題，可以使得問題的求解有一個清晰、直觀的整體展現(xiàn)．
（2）證明不等式時常采取構(gòu)造函數(shù)的方法，然后通過判斷函數(shù)的單調(diào)性，借助函數(shù)的最值進(jìn)行證明．
【題型】解答題
【結(jié)束】
22
【題目】在平面直角坐標(biāo)系
中，直線
的參數(shù)方程為
（
為參數(shù)，
）．以坐標(biāo)原點
為極點，以
軸正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，已知曲線
的極坐標(biāo)方程為：
．
（Ⅰ）求直線的普通方程與曲線的直角坐標(biāo)方程；
（Ⅱ）設(shè)直線與曲線交于不同的兩點
，若
，求
的值．
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】互聯(lián)網(wǎng)正在改變著人們的生活方式，在日常消費(fèi)中手機(jī)支付正逐漸取代現(xiàn)金支付成為人們首選的支付方式. 某學(xué)生在暑期社會活動中針對人們生活中的支付方式進(jìn)行了調(diào)查研究. 采用調(diào)查問卷的方式對100名18歲以上的成年人進(jìn)行了研究，發(fā)現(xiàn)共有60人以手機(jī)支付作為自己的首選支付方式，在這60人中，45歲以下的占
，在仍以現(xiàn)金作為首選支付方式的人中，45歲及以上的有30人.
（1）從以現(xiàn)金作為首選支付方式的40人中，任意選取3人，求這3人至少有1人的年齡低于45歲的概率；
（2）某商家為了鼓勵人們使用手機(jī)支付，做出以下促銷活動：凡是用手機(jī)支付的消費(fèi)者，商品一律打八折. 已知某商品原價50元，以上述調(diào)查的支付方式的頻率作為消費(fèi)者購買該商品的支付方式的概率，設(shè)銷售每件商品的消費(fèi)者的支付方式都是相互獨立的，求銷售10件該商品的銷售額的數(shù)學(xué)期望.
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】已知函數(shù)
， 
，（其中
， 
為自然對數(shù)的底數(shù)， 
……）.
（1）令
，若
對任意的
恒成立，求實數(shù)
的值；
（2）在（1）的條件下，設(shè)
為整數(shù)，且對于任意正整數(shù)
， 
，求
的最小值.
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】已知10件不同產(chǎn)品中有3件是次品，現(xiàn)對它們一一取出（不放回）進(jìn)行檢測，直至取出所有次品為止．
（1）若恰在第5次取到第一件次品，第10次才取到最后一件次品，則這樣的不同測試方法數(shù)有多少？
（2）若恰在第6次取到最后一件次品，則這樣的不同測試方法數(shù)是多少？
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