Question

【題目】已知是各項(xiàng)均為正數(shù)的無窮數(shù)列，且滿足，.

（1）若，，求a的值；

（2）設(shè)數(shù)列滿足，其前n項(xiàng)的和為.

①求證：是等差數(shù)列；

②若對(duì)于任意的，都存在，使得成立.求證：.

Answer 1

【答案】（1）；（2）①證明見解析；②證明見解析.

【解析】

（1）因?yàn)?/span>，所以此時(shí)單調(diào)遞增，，將，代入，解出，同理將，的值代入可得出答案.
（2）①由題意，，由，得,當(dāng)成立，當(dāng)時(shí)，可得和,兩式相減化簡(jiǎn)可得，從而可證明.
②由①可得，又存在，使得成立，即，當(dāng)成立，當(dāng)時(shí)，.

當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，必為整數(shù)，即，要證，只需證即證，因?yàn)?/span>，只需證明即可.

（1）是各項(xiàng)均為正數(shù)的無窮數(shù)列，

解：因?yàn)?/span>，所以此時(shí)單調(diào)遞增，

又

所以令，得，即，

平方整理得.

因?yàn)?/span>，所以；

同理令，得，即，

平方整理得.因?yàn)?/span>，所以，因此.

（2）證明：①由題意，，由，得.

當(dāng)時(shí)，，所以是公差為0的等差數(shù)列.

當(dāng)時(shí)，因?yàn)?/span>

所以①，

從而有②.

①-②，得，

化簡(jiǎn)得.

因?yàn)?/span>，且數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，，

所以，從而，因此.

因?yàn)?/span>，所以.

綜上，是公差為d的等差數(shù)列.

②因?yàn)?/span>是公差為d的等差數(shù)列，所以.

因?yàn)閷?duì)于任意的，都存在，使得，

所以有，

整理得.

ⅰ.若，則，結(jié)論成立.

ⅱ.若，.

當(dāng)時(shí)，.

當(dāng)時(shí)，必為整數(shù)，即.

因?yàn)?/span>，

所以，，所以，

從而.

下證，即證，

從而只要證，

因此要證.

記，則.

記，則，

所以，

從而，

所以.