Question

【題目】已知，是曲線上任意一點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)滿足.

（1）求點(diǎn)的軌跡的方程；

（2）過(guò)點(diǎn)的直線交于，兩點(diǎn)，過(guò)原點(diǎn)與點(diǎn)的直線交直線于點(diǎn)，求證：.

Answer 1

【答案】（1）；（2）詳見(jiàn)解析.

【解析】

（1）設(shè)，，由推出代入方程即可求解點(diǎn)的軌跡的方程；（2）直線的斜率存在，其方程可設(shè)為，設(shè)，，聯(lián)立，利用韋達(dá)定理，轉(zhuǎn)化求解斜率，推出結(jié)果即可．

解：（1）設(shè)，，由得：，

則，

即，

因?yàn)辄c(diǎn)B為曲線上任意一點(diǎn)，故，代入得.

所以點(diǎn)的軌跡的方程是．

（2）依題意得，直線的斜率存在，其方程可設(shè)為，

設(shè)，，

聯(lián)立得，

所以，.

因?yàn)橹本�的方程為，

且是直線與直線的交點(diǎn)，所以的坐標(biāo)為.

根據(jù)拋物線的定義等于點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離，由于在準(zhǔn)線上，

所以要證明，只需證明垂直準(zhǔn)線，

即證軸．

因?yàn)?/span>的縱坐標(biāo).

所以軸成立，所以成立．