Question

【題目】已知橢圓的焦距為4，且過點(diǎn).

（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）設(shè)為橢圓上一點(diǎn)，過點(diǎn)作軸的垂線，垂足為，取點(diǎn)，連接，過點(diǎn)作的垂線交軸于點(diǎn)，點(diǎn)是點(diǎn)關(guān)于軸的對稱點(diǎn)，作直線，問這樣作出的直線是否與橢圓一定有唯一的公共點(diǎn)？并說明理由.

Answer 1

【答案】(1) (2) 直線與橢圓一定有唯一的公共點(diǎn)，見解析

【解析】

（1）根據(jù)題意得到關(guān)于、的方程組，解得.

（2）由題意，點(diǎn)坐標(biāo)為，設(shè)，由知，求出，根據(jù)對稱表示出點(diǎn)坐標(biāo)，即可表示出直線的方程，聯(lián)立直線與橢圓方程消元可得.

解：（1）因為焦距為4，所以，又因為橢圓過點(diǎn)，

所以，故，，從而橢圓的方程為

已知橢圓的焦距為4，且過點(diǎn).

（2）由題意，點(diǎn)坐標(biāo)為，設(shè)，則，，再由知，，即.

由于，故，因為點(diǎn)是點(diǎn)關(guān)于軸的對稱點(diǎn)，所以點(diǎn).

故直線的斜率.

又因在橢圓上，所以.①

從而，故直線的方程為②

將②代入橢圓方程，得

③

再將①代入③，化簡得：

解得，，即直線與橢圓一定有唯一的公共點(diǎn).