Question

【題目】知函數(shù) (、為常數(shù))，曲線在點(diǎn)處的切線方程是．

（1）求、的值

（2）求的最大值

（3）設(shè)，證明：對(duì)任意，都有.

Answer 1

【答案】（1） （2） （3）證明過程詳見解析

【解析】

（1）由，及，解出、的值；

（2）求，得的單調(diào)性，求出最值；

（3）對(duì)任意， 等價(jià)于，

令 ，可求得的最大值為 ，

即 ．

設(shè) ，可得 ，即，

，命題得證

解：（1）由 ，得，

由已知得，解得．

又．

（2）由(1)得： ，

當(dāng)時(shí)， ，所以；

當(dāng)時(shí)， ，所以，

∴當(dāng)時(shí)， ；當(dāng)時(shí)， ，

的單調(diào)遞增區(qū)間是，單調(diào)遞減區(qū)間是，

時(shí)， ．

（3）證明：．

對(duì)任意， 等價(jià)于，

令 ，則 ，

由 得： ，

∴當(dāng) 時(shí)， ， 單調(diào)遞增；

當(dāng) 時(shí)， ， 單調(diào)遞減，

所以的最大值為 ，即 ．

設(shè) ，則 ，

∴當(dāng) 時(shí)， 單調(diào)遞增， ，故當(dāng) 時(shí)， ，即， ，

∴對(duì)任意，都有 ．