Question

【題目】如圖,ABCD是邊長為3的正方形,DE⊥平面ABCD,AF∥DE,DE=3AF,BE與平面ABCD所成角為60°.

(1)求二面角F-BE-D的余弦值;

(2)設(shè)點(diǎn)M是線段BD上一個動點(diǎn),試確定點(diǎn)M的位置,使得AM∥平面BEF,并證明你的結(jié)論.

Answer 1

【答案】（1）；（2）見解析

【解析】

（1）以D為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，然后結(jié)合條件得到相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而求得平面BEF的法向量和平面BDE的法向量，求出兩向量夾角的余弦值，再結(jié)合圖形可得二面角的余弦值．（2）設(shè)點(diǎn)M(t,t,0)，于是得=(t-3,t,0)，由AM∥平面BEF可得，解得，故得點(diǎn)M坐標(biāo)為(2,2,0),BM=BD,即為所求．

（1）因?yàn)镈A,DC,DE兩兩垂直,所以建立空間直角坐標(biāo)系D-xyz如圖所示.

因?yàn)镈E⊥平面ABCD,

所以BE與平面ABCD所成角為∠DBE，故∠DBE =60°,

所以.

由AD=3可知DE=3,AF=.

則A(3,0,0),F(3,0,),E(0,0,3),B(3,3,0),C(0,3,0),

所以=(0,-3,),=(3,0,-2),

設(shè)平面BEF的法向量為,

則

令z=,則.

同理得平面BDE的法向量為,(也可證AC⊥平面BDE,得即為法向量).

所以cos<,>=.

由圖形得二面角F-BE-D為銳角,

所以二面角F-BE-D的余弦值為.

(2)點(diǎn)M是線段BD上一個動點(diǎn),設(shè)M(t,t,0).

則=(t-3,t,0),

因?yàn)锳M∥平面BEF,

所以，

解得t=2.

此時,點(diǎn)M坐標(biāo)為(2,2,0),BM=BD,符合題意.

所以當(dāng)BM=BD 時，滿足AM∥平面BEF．