Question

【題目】已知橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)在直線上，且離心率.

（1）求該橢圓的方程；

（2）若與是該橢圓上不同的兩點(diǎn)，且線段的中點(diǎn)在直線上，試證： 軸上存在定點(diǎn)，對(duì)于所有滿足條件的與，恒有；

Answer 1

【答案】（1）（2）見解析

【解析】試題分析：（1）利用橢圓的性質(zhì)、離心率計(jì)算公式及焦點(diǎn)即可得方程；

（2）當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線的方程為，與橢圓聯(lián)立得，設(shè)，由線段的中點(diǎn)在直線上，得，假設(shè)在軸上存在定點(diǎn)， ，進(jìn)而得，即可求得，當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，易得成立.

試題解析：

（1）∵橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)在直線上，∴，

又，∴，

∴該橢圓的方程為.

（2）當(dāng)直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線的方程為，

，

，

設(shè)，則， ，

∵弦的中點(diǎn)在直線上，∴ ，

∴ ，∴，

將代入得，

假設(shè)在軸上存在定點(diǎn)， ，

∴ ，

∴ ，即，

當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，直線垂直于軸，此時(shí)顯然成立，綜上， 軸上存在定點(diǎn).