Question

【題目】數(shù)列的各項均為整數(shù)，滿足：，且，其中．

（1）若，寫出所有滿足條件的數(shù)列；

（2）求的值；

（3）證明：．

Answer 1

【答案】（1）；；；；（2）;（3）證明見解析．

【解析】

(1)根據(jù)得并結(jié)合已知條件即可寫出滿足條件的數(shù)列；

(2) ，利用反證法即可證出；

(3)先利用反證法證明，必有，然后對此不等式中賦，可得個不等式并將其累加，再利用等比數(shù)列求和公式化簡后，再結(jié)合已知即可證得結(jié)果．

(1)當(dāng)時，，又，，

故滿足條件的數(shù)列為：；；；．

(2)．

否則，假設(shè)，因為，所以．又，因此有

，

這與矛盾，

所以．

(3)先證明如下結(jié)論：，必有．

否則，假設(shè)，

注意左式是的的整數(shù)倍，因此，

所以有

這與矛盾．

所以．

因此有

，

，

，

……

，

……

，

將上述個不等式相加得

，①

又，②

②－①得．