Question

【題目】如圖，已知四棱錐，是等邊三角形，，，，，是的中點(diǎn)．

（1）求證：直線平面；

（2）求直線與平面所成角的正弦值．

Answer 1

【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）.

【解析】

（1）取的中點(diǎn)，連接、，通過(guò)證明四邊形為平行四邊形得出，再利用線面平行的判定定理可得出結(jié)論；

（2）以為原點(diǎn)，、、過(guò)D且垂直底面的直線分別為、、軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，根據(jù)已知條件求出點(diǎn)的坐標(biāo)，可得出點(diǎn)的坐標(biāo)，然后利用空間向量法可求出直線與平面所成角的正弦值．

（1）取的中點(diǎn)，連接、，

根據(jù)中位線定理，，且，

又，所以，，則四邊形為平行四邊形，，

平面，平面，平面；

（2）以為原點(diǎn)，、、過(guò)D且垂直底面的直線分別為、、軸建立空間直角坐標(biāo)系，

設(shè)，則、、、，設(shè)，

由，，，

上面聯(lián)立解方程組得，，，

故點(diǎn)，所以，得到，

平面的法向量為，由.

故直線與平面所成角的正弦值為．