Question

【題目】已知橢圓的離心率是，上頂點(diǎn)B是拋物線的焦點(diǎn).

（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）若是橢圓上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且(是坐標(biāo)原點(diǎn)），試問(wèn)：點(diǎn)到直線的距離是否為定值？若是，試求出這個(gè)定值；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）;（Ⅱ）原點(diǎn)到直線的距離為定值.

【解析】

試題（1）由題意，根據(jù)離心率，可得，又，即可求解橢圓的方程；

（2）由直線的斜率不存在時(shí)，可求解；由直線的斜率存在時(shí)，設(shè)直線方程為，代入橢圓的方程，根據(jù)韋達(dá)定理，可得，代入化簡(jiǎn)，進(jìn)而得到點(diǎn)到直線的距離為定值。

試題解析：（Ⅰ）由題設(shè)知 ①

又 ②

所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為

（Ⅱ）若直線軸，設(shè)直線，并聯(lián)立橢圓方程解出，，

，，由得；

若直線不平行軸，設(shè)直線，，，代入橢圓的方程消得，設(shè)，，，，由韋達(dá)定理得 ③， ④，由得，

即 ，即，

即 ⑤

把③、④代入⑤并化簡(jiǎn)得 ，所以

原點(diǎn)到直線的距離定值．