Question

【題目】如圖，已知直三棱柱中，，，是的中點，是上一點，且.

（1）證明：平面；

（2）求二面角余弦值的大小.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）.

【解析】

（1）證明出，可得出，即有，再證明出平面，可得出，然后利用直線與平面垂直的判定定理可證明出平面；

（2）以點為坐標(biāo)原點，、、所在直線分別為、、軸建立空間直角坐標(biāo)系，然后利用空間向量法計算出二面角余弦值的大小.

（1）由題意知，等腰直角三角形中，中線，且，

在直三棱柱中，底面，

、平面，從而知，，

一方面，在中，因為，，則.

由，可得，從而可知，又，

則得，由此可得，即有.

另一方面，由，，，得平面，

又平面，則知.

綜上，，且，又，故平面，得證之；

（2）由題意，以點為坐標(biāo)原點，、、所在直線分別為、、軸建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

且有、、、、，

從而有、、，

由，可得，

記為平面的一個法向量，

則有，取，得.

又由（1）知平面，故可取為平面的一個法向量，那么可得.

因此，二面角余弦值的大小為.