Question

【題目】如圖，矩形所在的平面與直角梯形所在的平面成的二面角，，，，，，.

（1）求證：面；

（2）在線段上求一點(diǎn)，使銳二面角的余弦值為.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）為線段的中點(diǎn).

【解析】

（1）利用面面平行的判定定理證明出平面平面，再利用平面與平面平行的性質(zhì)得出平面；

（2）由，，由二面角的定義得出，證明出平面平面，過點(diǎn)在平面內(nèi)作，可證明出平面，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，、所在直線分別為軸、軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，利用向量法結(jié)合條件銳二面角的余弦值為求出的值，由此確定點(diǎn)的位置.

（1）在矩形中，，又平面，平面，

平面，同理可證平面，

，、平面，平面平面，

平面，平面；

（2）在矩形中，，又，則矩形所在平面與直角梯形所在平面所成二面角的平面角為，即.

又，平面，

作于，平面，，

又，、平面，平面.

作于，，，，

，，，.

以為原點(diǎn)，、所在直線分別為軸、軸如圖建立空間直角坐標(biāo)系，

則、，設(shè).

則，，

設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，即，取，則，，則平面的一個(gè)法向量為.

.又平面的一個(gè)法向量為，，

解得或（舍去）.

此時(shí)，， 即所求點(diǎn)為線段的中點(diǎn).