Question

【題目】已知函數(shù).

（1）求函數(shù)在上的單調(diào)遞增區(qū)間；

（2）將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，再將圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的倍（縱坐標(biāo)不變），得到函數(shù)的圖象.求證：存在無(wú)窮多個(gè)互不相同的整數(shù)，使得.

Answer 1

【答案】（1）單調(diào)遞增區(qū)間為；（2）見解析.

【解析】

（1）利用二倍角的降冪公式以及輔助角公式可將函數(shù)的解析式化簡(jiǎn)為，然后求出函數(shù)在上的單調(diào)遞增區(qū)間，與定義域取交集可得出答案；

（2）利用三角函數(shù)圖象變換得出，解出不等式的解集，可得知對(duì)中的任意一個(gè)，每個(gè)區(qū)間內(nèi)至少有一個(gè)整數(shù)使得，從而得出結(jié)論.

（1）.

令，解得，

所以，函數(shù)在上的單調(diào)遞增區(qū)間為，

，因此，函數(shù)在上的單調(diào)遞增區(qū)間為；

（2）將函數(shù)的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度，得到函數(shù)的圖象，

再將圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長(zhǎng)到原來(lái)的倍（縱坐標(biāo)不變），得到函數(shù)的圖象，

由，

對(duì)于中的任意一個(gè)，區(qū)間長(zhǎng)度始終為，大于，

每個(gè)區(qū)間至少含有一個(gè)整數(shù)，

因此，存在無(wú)窮多個(gè)互不相同的整數(shù)，使得.