Question

【題目】已知是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，，當(dāng)三棱錐體積最大時(shí)，其外接球的表面積為__________．

Answer 1

【答案】

【解析】

當(dāng)三棱錐體積最大時(shí)，分析得出點(diǎn)C的位置，再根據(jù)球的性質(zhì)，在直角三角形中解出球的半徑，從而求得球的表面積.

解：取的中點(diǎn)，連接，

設(shè)的外接圓的圓心為，的外接圓的圓心為，

因?yàn)?/span>是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，

所以面積確定，

要使三棱錐體積最大，

即要使點(diǎn)到平面的距離最大，

只有當(dāng)平面平面時(shí)，體積最大，

即點(diǎn)到邊的距離最大，三棱錐的體積最大，

因?yàn)?/span>，且，

外接圓的半徑為，

所以點(diǎn)在外接圓上運(yùn)動(dòng)，如圖所示

當(dāng)點(diǎn)滿足時(shí)，點(diǎn)到邊的距離最大，三棱錐的體積最大.

此時(shí)三棱錐的高即為的長(zhǎng)，

此時(shí)外接圓的圓心在上，

根據(jù)球的性質(zhì)可知，，，

故四邊形為矩形，

故，

在中，球的半徑平方為，

所以球的表面積為.