【題目】對(duì)于無(wú)窮數(shù)列,若正整數(shù)
,使得當(dāng)
時(shí),有
,則稱(chēng)
為“
不減數(shù)列”.
(1)設(shè),
均為正整數(shù),且
,甲:
為“
不減數(shù)列”,乙:
為“
不減數(shù)列”.試判斷命題:“甲是乙的充分條件”的真假,并說(shuō)明理由;
(2)已知函數(shù)與函數(shù)
的圖象關(guān)于直線(xiàn)
對(duì)稱(chēng),數(shù)列
滿(mǎn)足
,
,如果
為“
不減數(shù)列”,試求
的最小值;
(3)對(duì)于(2)中的,設(shè)
,且
.是否存在實(shí)數(shù)
使得
為“
不減數(shù)列”?若存在,求出
的取值范圍;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.
【答案】(1)假,理由見(jiàn)解析;(2)2;(3)
【解析】
(1)根據(jù)“不減數(shù)列”定義直接判斷充要關(guān)系,即得結(jié)果;
(2)先求,再探求
的最小值,最后利用作差法證明;
(3)先結(jié)合(2)化簡(jiǎn),
,再根據(jù)新定義得不等式,并參變分離,根據(jù)奇偶性分類(lèi)討論,結(jié)合數(shù)列單調(diào)性求最值,即得結(jié)果.
(1)對(duì)于甲:為“
不減數(shù)列”
,
對(duì)于乙:為“
不減數(shù)列”
,
∵設(shè),
均為正整數(shù),且
,
∴乙甲,顯然甲
乙,
因此,甲是乙的必要條件,從而“甲是乙的充分條件”是假命題.
(2)∵函數(shù)與函數(shù)
的圖象關(guān)于直線(xiàn)
對(duì)稱(chēng),
∴函數(shù)為函數(shù)
的反函數(shù),且
.
由,得
.
由得
,
假設(shè),則
,
即當(dāng)時(shí),
.
于是,即
.
亦即:數(shù)列,且
,
因此,的最小值為2.
(3)假設(shè)存在實(shí)數(shù)使得
為“
不減數(shù)列”.
∵,∴
是單調(diào)遞增數(shù)列
.
∵,且
,
∴,
又,故當(dāng)
時(shí),
,即
.
若為大于或等于4的偶數(shù),則有
恒成立,
注意到數(shù)列關(guān)于
遞減,
所以,,即
;
若為大于或等于3的奇數(shù),則有
恒成立,
注意到數(shù)列關(guān)于
遞增,
所以,,即
;
又當(dāng)時(shí),
由,得
.
綜上所述,存在實(shí)數(shù),且
,
使得為“
不減數(shù)列”,
即所求的取值范圍是
.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知橢圓的中心在坐標(biāo)原點(diǎn),焦點(diǎn)在
軸上,左頂點(diǎn)為
,左焦點(diǎn)為
,點(diǎn)
在橢圓
上,直線(xiàn)
與橢圓
交于
,
兩點(diǎn),直線(xiàn)
,
分別與
軸交于點(diǎn)
,
.
(Ⅰ)求橢圓的方程;
(Ⅱ)以為直徑的圓是否經(jīng)過(guò)定點(diǎn)?若經(jīng)過(guò),求出定點(diǎn)的坐標(biāo);若不經(jīng)過(guò),請(qǐng)說(shuō)明理由.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
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(2)求△ABC面積的最大值,及此時(shí)弦長(zhǎng)
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形,
,當(dāng)三棱錐
體積最大時(shí),其外接球的表面積為__________.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知,
是動(dòng)點(diǎn),以
為直徑的圓與圓
:
內(nèi)切.
(1)求的軌跡
的方程;
(2)設(shè)是圓
與
軸的交點(diǎn),過(guò)點(diǎn)
的直線(xiàn)與
交于
兩點(diǎn),直線(xiàn)
交直線(xiàn)
于點(diǎn)
,求證:
三點(diǎn)共線(xiàn).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】已知?jiǎng)狱c(diǎn)是
的頂點(diǎn),
,
,直線(xiàn)
,
的斜率之積為
.
(1)求點(diǎn)的軌跡
的方程;
(2)設(shè)四邊形的頂點(diǎn)都在曲線(xiàn)
上,且
,直線(xiàn)
,
分別過(guò)點(diǎn)
,
,求四邊形
的面積為
時(shí),直線(xiàn)
的方程.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】雙曲線(xiàn):
的左右頂點(diǎn)分別為
,
,動(dòng)直線(xiàn)
垂直
的實(shí)軸,且交
于不同的兩點(diǎn)
,直線(xiàn)
與直線(xiàn)
的交點(diǎn)為
.
(1)求點(diǎn)的軌跡
的方程;
(2)過(guò)點(diǎn)作
的兩條互相垂直的弦
,
,證明:過(guò)兩弦
,
中點(diǎn)的直線(xiàn)恒過(guò)定點(diǎn).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】甲、乙兩名同學(xué)在本學(xué)期的六次考試成績(jī)統(tǒng)計(jì)如圖,甲、乙兩組數(shù)據(jù)的平均值分別為,則( )
A.每次考試甲的成績(jī)都比乙的成績(jī)高B.甲的成績(jī)比乙穩(wěn)定
C.一定大于
D.甲的成績(jī)的極差大于乙的成績(jī)的極差
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科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:
【題目】某快遞公司收取快遞費(fèi)用的標(biāo)準(zhǔn)是:重量不超過(guò)的包裹收費(fèi)
元;重量超過(guò)
的包裹,除
收費(fèi)
元之外,超過(guò)
的部分,每超出
(不足
,按
計(jì)算)需再收
元.該公司將最近承攬的
件包裹的重量統(tǒng)計(jì)如下:
包裹重量(單位: | |||||
包裹件數(shù) |
公司對(duì)近天,每天攬件數(shù)量統(tǒng)計(jì)如下表:
包裹件數(shù)范圍 | |||||
包裹件數(shù) (近似處理) | |||||
天數(shù) |
以上數(shù)據(jù)已做近似處理,并將頻率視為概率.
(1)計(jì)算該公司未來(lái)天內(nèi)恰有
天攬件數(shù)在
之間的概率;
(2)(i)估計(jì)該公司對(duì)每件包裹收取的快遞費(fèi)的平均值;
(ii)公司將快遞費(fèi)的三分之一作為前臺(tái)工作人員的工資和公司利潤(rùn),剩余的用作其他費(fèi)用.目前前臺(tái)有工作人員人,每人每天攬件不超過(guò)
件,工資
元.公司正在考慮是否將前臺(tái)工作人員裁減
人,試計(jì)算裁員前后公司每日利潤(rùn)的數(shù)學(xué)期望,并判斷裁員是否對(duì)提高公司利潤(rùn)更有利?
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