Question

【題目】已知函數(shù)， .

（1）若時，求函數(shù)的最小值；

（2）若，證明：函數(shù)有且只有一個零點；

（3）若函數(shù)有兩個零點，求實數(shù)的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）最小值；（2）見解析；（3）.

【解析】試題分析：（1）當(dāng)時， ，求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，得到極值點，然后判斷函數(shù)的單調(diào)性，求解函數(shù)的最小值；

（2）由，得，當(dāng)時，函數(shù)在上最多有一個零點，當(dāng)時， ， ，即可得到結(jié)論；

（3）由（2）知，當(dāng)時， 在上最多有一個零點，當(dāng)，函數(shù)，得，令，利用的取值，得到函數(shù)在上單調(diào)遞減；在上單調(diào)遞增，要使函數(shù)在上有兩個零點，只需要函數(shù)的極小值，即，進而求解實數(shù)的取值范圍．

試題解析：

（1）當(dāng)時， ，

所以 .

令，得，當(dāng)時， ；

當(dāng)時， ，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，

所以當(dāng)時， 有最小值.

（2）由，得 ，

所以當(dāng)時， ，

函數(shù)在上單調(diào)遞減，所以當(dāng)時， 在上最多有一個零點.

因為當(dāng)時， ， ，

所以當(dāng)時，函數(shù)在上有零點.

綜上，當(dāng)時，函數(shù)有且只有一個零點.

（3）由（2）知，當(dāng)時， 在上最多有一個零點.

因為有兩個零點，所以.

由，得.

令，

因為， ，所以在上只有一個零點，

設(shè)這個零點為，

當(dāng)時， ， ；

當(dāng)時， ， ；

所以函數(shù)在上單調(diào)遞減；在上單調(diào)遞增.

要使函數(shù)在上有兩個零點，只需要函數(shù)的極小值，即.

因為，

所以

，

可得，

又因為在上是增函數(shù)，且，

所以， ，

由，得 ，

所以，即.

以下驗證當(dāng)時，函數(shù)有兩個零點.

當(dāng)時， ， ，

所以.

因為 ，且，

所以函數(shù)在上有一個零點.

又因為 （因）.

且，所以在上有一個零點.

所以當(dāng)時，函數(shù)在內(nèi)有兩個零點.

綜上，實數(shù)的取值范圍是.